Un Poco de Historia

El origen de este concepto se debe al matemático alemán George Cantor (18451918). Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. El concepto de conjunto es uno de los mas fundamentales en matemáticas, incluso mas que la operación de contar. De ´esta manera, comprender la teoría de conjuntos se vuelve fundamental para el estudio de cualquier ciencia.

Introducción a Conjuntos

¿Qué es un conjunto? 

  Vamos adoptar, un punto de vista sencillo en lo relacionado a la teoría de conjuntos. Supondremos que lo que se entiende por conjunto es algo intuitivamente claro, y procederemos sobre esa base.

   De manera inmediata, un conjunto es una colección de objetos.

Notación Básica

Notación básica 

Habitualmente usaremos las letras A,B,C,... para representar conjuntos y letras minúsculas, como a,b,c,... para representar los elementos u objetos que pertenecen o forman parte de esos conjuntos.

Relación de Pertenencia de Conjuntos

Relación de Pertenencia de Conjuntos

Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A. Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...

Relación de Inclusión de Conjuntos

Relación de Inclusión de Conjuntos

Diremos que un conjunto A está contenido en un conjunto B, si todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B.

Que un conjunto A esté contenido en un conjunto B se representa simbólicamente por:

A   B o bien B   A.

Sinónimos de la frase “estar contenido en” son: “estar incluido en”, “ser subconjunto de”

La expresión B   A se lee también como: “B contiene a A”, “B incluye a A” o bien “B es un superconjunto de A”.

                                                                             

Expresión de Conjuntos

Expresión de Conjuntos

En resumidas cuentas, podemos especificar los elementos que forman un conjunto, o expresar el conjunto propiamente dicho, de tres maneras:

•  Mediante Lenguaje Natural: Cuando expresamos el conjunto de manera común por ejemplo el conjunto de las plantas, el conjunto de los animales, etc.
•  Por Extensión: Cuando expresamos el conjunto nombrando cada uno de sus elementos entre llaves. Por ejemplo A = {1,2,3,4,5}, D = {m,n,o,p}.
•  Por Comprensión: Cuando expresamos el conjunto mediante alguna                                    propiedad de los elementos del conjunto. 

 Por ejemplo A = {x|x es un triángulo}, B = {y|y es un nu´mero mayor que 5},                                                                                        etc.

Unión de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se puede construir un nuevo conjunto formado por los elementos de A junto con los elementos de B. Este conjunto se llama unión de A y B y se representa por A ∪ B. De manera formal, se define:

                  A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B}

Intersección de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, otra forma de construir un nuevo conjunto es tomar los elementos en común de A y B. Este nuevo conjunto se llama intersección de A y B y se representa por A ∩ B. Formalmente, se define

A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B}

Diferncia entre 2 Conjuntos

Existe otra operación entre conjuntos que, en ocasiones resulta muy útil. Se trata de la diferencia de dos conjuntos, que se denotar´a por A − B, y que se define como el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Formalmente

A − B = {x|x ∈ A y x /∈ B}

Producto Cartesiano

Existe todavía otra operación para construir conjuntos a partir de unos dados; ésta operación lleva implícita la noción de “par ordenado”. Por ejemplo, un punto en el plano cartesiano, lo podemos denotar como un par ordenado (x,y) y va corresponder de manera única a ese punto, de ´esta manera si se escribe un punto de la forma (3,5) significa que con respecto a punto de referencia el punto esta´ ubicado a 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia arriba.

La noción de pares ordenados se pueden generalizar a cualquier conjunto, sin necesidad de que sean conjuntos numéricos. Dados dos conjuntos A y B, se define su producto cartesiano A × B como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) para los cuales a es un elemento de A y b es un elemento de B. Formalmente

                                                                            A × B = {(a,b)|a ∈ A y b ∈ B}

Diagrama de Venn

El Diagrama de Venn es una representación gráfica, normalmente óvalos o círculos, que nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada óvalo o círculo es un conjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.